Teil I

ANALYSIS


Inhaltsverzeichnis

  1. Betrag undSignum
  2. Gaußklammer
  3. Binomische Formeln
  4. Parabelfunktion
  5. Quadratische Gleichung
  6. Satz von Vieta
  7. Arithmetisches Mittel
  8. Geometrisches Mittel
  9. Potenzgesetze
  10. Logarithmusgesetze
  11. Induktion
  12. Zahlenfolgen und Reihen
  1. arith. Reihe
  2. geo. Reihe
  3. Grenzwert
  4. Î - Umgebung
  5. Stetigkeit
  6. Ableitung
  7. Differenzierbarkeit
  8. Tangentengleichung
  9. Potenzregel
  10. Produktregel
  11. Kettenregel
  12. Quotientenregel
  1. Regel von de I'HOSPlTAL
  2. Satz von Rolle
  3. Mittelwertsatz
  4. Tabelle von Ableitungen
  5. Asymptote
  6. Symmetrie
  7. Monotonie
  8. Krümmung
  9. Extremstellen
  10. Wendestellen
  11. Horner Schema

 

 

1. Betrag und Signum

Def.:

Satz:

Vor.: x,y Î Â bzw. geordneter Körper.

Dann gilt folgendes:

a.

b.

c.

d.

e.

 

 

2. Gaußklammer

Def.:

Bsp.: [2,45] = 2         [-3,2] = -4

 

 

3. Binomische Formeln:

Es gilt das Pascalsche Dreieck:

     1 2 1
               {   { 
    1 3 3 1
               {   {   {
   1 4 6 4 1    usw.  

 

 

4.Parabelfunktion:

Nach der Äquivalenzumformung kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden.

Analog zur allgemeinen Schreibweise:

 

 

5. Quadratische Gleichung:

 

 

6. Satz von Vieta:

 

 

7. Arthmetisches Mittel:

Vor.: a,b > 0  

 

 

8. Geometrisches Mittel:

Vor.: a,b > 0  

 

 

9. Potenzgesetzt

 

 

11. Induktion

Die Induktion ist ein Beweisverfahren. Stimmt das Induktionsende mit der Vermutung oder Aussage überein, dann ist die Vermutung oder Aussage allgemeingültig.

Als Beweisgrundlage gilt das 5.Axiom von Peano:

Wenn eine Menge M von natürlichen Zahlen die Zahl 1 enthält und wenn sie mit jeder natürlichen Zahl die sie enthält, auch deren Nachfolger enthält, dann liegen alle natürlichen Zahlen in M , also M = N.

Durch die Induktion können Summen , Funktionsaussagen und Ableitungsregeln bewiesen werden.

1.

=(1/4n2 + (n+1)) (n+1)2 = 1/4 (n+1)2 (n2+4n+4)

=1/4 (n+1)2 (n+2)2 q.e.d

 

2.

( 9n - 1 ) : 8

A(1):   8:8

A(n+1):   9n+1 - 1 = 9n *9 - 1 = 9*9n - 9 + 8 = 9(9n - 1) + 8

q.e.d

 

3.


f(x) = (x-2) e-x

f '(x) = e-x (-x+3)   f "(x) = e-x (x-4)

f "'(x) = e-x (-x+5)   fn(x) = e-x (-1)n (x-(2+n))

A(n+1):   fn+1(x) = e-x (-1)(-1)n (x-(2+n)) + (-1)n * e-x

= (-1)n * e-x *(-x+n+2+1) = (-1)n+1*e-x [x-(2+(n+1))]

q.e.d

 

 

12. Zahlenfolgen und Reihen:

Definition: Eine Zahlenfolge heißt eine arithmetische Folge, wenn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert hat.

Bildungsgesetz:

 

 

13. arith. Reihe:

Lehrsatz: Der Summenwert einer arithmetischen Reihe mit n Gliedern ist gleich dem n-fachen arithmetischen Mittel aus dem ersten und letzten Glied.

 

 

Definition: Eine Zahlenfolge heißt eine geometrische Folge, wenn der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder immer den gleichen Wert hat.

Bildungsgesetz:

 

 

14. geo. Reihe:

Satz:

Jede geometrische Folge mit| q<| <1 hat den Grenzwert 0.

an strebt mit n gegen¥ gegen den Wert 0, Û

an konvergiert gegen den Grenzwert 0.

 

 

16. Î - Umgebung

Satz:

Die Î -Umgebung des Punktes g:

Da gilt:   darf man

setzen: .

 

Satz:

Der Punkt gU _ heißt Grenzwert der Folge an

, wenn jede noch so kleine 0 -Umgebung von g fast alle an enthält.

Û Wenn es zu jedem 0 >0 ein noÓ no( 0 ) 0 Á gibt mit an 0 U 0 (g)

[ n>no .

Û

 

 

Satz:

Jeder unendliche periodische Dezimalbruch stellt eine rationale Zahl dar und läßt sich in einen Bruch verwandeln.

Alle nicht periodischen unendlichen Dezimalbrüche sind irrationale Zahlen und somit Elemente von  . e,p Î Â

 

 

Grenzwert bei geometrische Reihe:

wenn -1<q<1 also , so gilt:

also somit

 

 

17. Stetigkeit:

rechter und linker Grenzwert stimmen mit Funktionswert überein

f ist unstetig bzgl. Polstellen, Sprünge und Definitionslücken.

 

 

18. Ableitung,
19. Differenzierbarkeit:

h ist eine alternierende Nullfolge

Zähler entspricht der Stetigkeitsbedingung:

f diff. L f stetig

 

 

20. Tangentengleichung für beliebigen Punkt P(x0/f(x0)):

 

 

21. Potenzregel :

 

 

22. Produktregel :

 

 

23. Kettenregel :

 

 

24. Quotientenregel :

 

 

25. Regel von de I'HOSPlTAL

Streben Zähler und Nenner des Bruches g(x)/h(x) für x D a bzw. für xD ) T beide gegen Null oder beide gegen Unendlich und sind die Funktionen g und h differenzierbar,

dann gilt:

falls existiert.

Entsteht dabei wieder eine unbestimmte Form, so wird die Regel von de I'HOSPlTAL erneut angewendet.

Beispiel:

 

 

26. Satz von Rolle:

Vor.: f stetig in [a;b], f diff. in (a;b)

Sei f (a) = f (b) dann gibt es ein xo 0 (a;b) mit

f'(xo) = 0 .

 

 

27. Mittelwertsatz:

Vor.: f stetig in [a;b], f diff. in (a;b)

Þ \ x Î (a;b) mit

 

 

28. Tabelle von Ableitungen:

 

 

29. Asymptote:

Satz:
An jeder Polstelle hat der Graph einer gebrochenen rationalen Funktion eine zur x-Achse senkrechte Asymptote. Ist bei einer gebrochenen rationalen Funktion der Grad des Zählerpolynoms n £ m dem Grad des Nennerpolynoms, dann hat der Graph f eine zur x-Achse parallele Asymptote.

Satz:
Die Funktionswerte der gebrochenen rationalen Funktion, deren Zählerpolynom von höherem Grad ist als das Nennerpolynom, können sich immer weniger von den Funktionswerten einer Näherungsfunktion unterscheiden, je größer bzw. kleiner x ist.

Ist die Näherungsfunktion linear, so ist ihr Graph eine Asymptote von f. Der Graph f schmiegt sich immer mehr der Asymptoten g an, je größer bzw. kleiner die x-Werte werden.

 

 

30. Symmetrie:

Bei einer ganzrationalen Funktion gibt es drei Möglichkeiten:

  1. 'gerade Funktion' L nur gerade Exponenten L f(x) = f(-x)
    L
    achsensymmetrisch zur f(x)-Achse

  2. 'ungerade Funktion' L nur ungerade Exponenten L f(x) = - f(-x)L punktsymmetrisch zum Ursprung

  3. gerade und ungerade Exponenten L weder achsensymmetrisch zur f(x)-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung

 

 

31. Monotonie:

 

 

32. Krümmung:

 

 

33.Extremstellen

Vor.: xE 0 · f , f ist eine zweimal (stetig) differenzierbare Funktion.
Notwendige Bed.: f'(xE) = 0 L f hat in xE eventuell eine relative Extremstelle.
Hinreichende Bed. :
  1. f'(xE) = 0 und f'(x) wechselt in der Umgebung U(xE) sein Vorzeichen.
  2. f'(xE) = 0 und f(x) wechselt in der Umgebung U(xE) sein Monotonieverhalten.
  3. f'(xE) = 0 und f''(xE)>0 Û f besitzt in U(xE) eine Linkskurve Þ f'(x) ist in U(xE) sm ­ also VZW von - nach + Þ xE ist ein rel. Minimum bzgl. f .
  4. f'(xE) = 0 und f''(xE)<0 Û f besitzt in U(xE) eine Rechtskurve Þ f'(x) ist in U(xE) sm ¯ also VZW von + nach - Þ xE ist ein rel. Maximum bzgl. f .
  5. f'(xE) = 0 und f''(xE) ¹ 0 Þ xE ist eine rel. Extremstelle von f; weil in U(xE) f eine Krümmung besitzt bzw. f' streng monoton ist und somit einen VZW hat, d.h. f wechselt sein Monotonieverhalten.

 

 

34. Wendestellen

Vor.: xW 0 · f , f ist eine dreimal (stetig) differenzierbare Funktion.
Notwendige Bed.: f''(xW) = 0 L f hat in xW eventuell eine Wendestelle.
Hinreichende Bed.:
  1. f''(xW) = 0 und f''(x) wechselt in der Umgebung U(xW) sein Vorzeichen.
  2. f''(xW) = 0 und f(x) wechselt in der Umgebung U(xW) sein Krümmungsverhalten.
  3. f''(xW) = 0 und xW ist eine rel. Extremstelle bzgl. f' Û f' besitzt in U(xW) eine Krümmung bzw. f'' ist in U(xW) streng monoton und besitzt dort einen VZW.
  4. f''(xW) = 0 und f'''(xW) ¹ 0 Þ xW ist eine Wendestelle von f; weil in U(xW) f'' streng monoton ist und einen VZW hat, d.h. f wechselt sein Krümmungsverhalten. Außerdem besitzt f' dort eine Krümmung und xW stellt eine rel. Extremstelle bzgl. f' da, weil die notwendige Bed. für rel. Extremstellen erfüllt wird [f'(xE)]' = 0 , als auch ein VZW in U(xW) und somit die hin. Bed. erfüllt wird.

 

 

Horner Schema:

f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0

  1 - 3 - 2   6  
  0   3   0 - 6  
x = 3 1   0 - 2   0 L (x - 3)
  0 Ö 2   2    
x =  Ö 2 1 Ö 2   0 L (x- Ö2)  
  0 -Ö 2      
x = -Ö 2 1   0 L (x + Ö 2)    

also f(x) = (x +  Ö2) (x -  Ö2) (x - 3)

 

 

f(x) = 8x4 - 14x3 - 11x2 + 11x + 6

  8 -14 -11 11 6  
  0 -4 9 1 -6  
x=-0,5 8 -18 -2 12 0 L (x+0,5)
  0 -6 18 -12    
x=-0,75 8 -24 16 0 L (x+0,75)  
  0 16 -16      
x=2 8 -8 0 L (x-2)    
  0 8        
x=1 8 0 L(x-1)      

also f(x) = 8 (x-2) (x+0,75) (x+0,5) (x-1)

 

 

Polynomdivision:

x3 - 3x2 - 2x + 6 :(x-3)= x2 - 2
x3 - 3x2    
- 2x + 6    
- 2x + 6    
0    
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