Teil II

ANALYSIS

Integrale


Inhaltsverzeichnis

  1. Ableitung einer Integralfunktion
  2. Integralregeln
  3. Das unbestimmte Integral
  4. Das bestimmte Integral
  5. Tabelle von Integralen
  6. Substitution
  7. Partielle Integration
  1. Partialbruchzerlegung
  2. Uneigentliche Integrale
  3. Fakultät
  4. Binomischer Satz
  5. Binominalkoeffizienten
  6. Bernoullische Ungleichung
  7. Taylorsche Reihe

 

 

1. Die Ableitung einer Integralfunktion

Zur Berechnung der Ableitung einer Integralfunktion nach der oberen Grenze gehen wir auf die Definition der Ableitung zurück, wobei wir voraussetzen, daß die Integrandenfunktion f(x) im Integrationsbereich stetig ist. Es sei

dann ist definitionsgemäß

somit ergibt sich:

F(x+h)-F(x) ergibt den Flächeninhalt siehe Graphen unten.

Da f(x) als stetig vorausgesetzt ist, ergibt sich eine obere und untere Schranke. Zwischen x und x+h gibt es folglich eine Stelle xMin, und eine Stelle xMax.

 

 

Lehrsatz:

Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierbar. Die Ableitung ist gleich dem Wert des Integranden an der oberen Grenze.

(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

2. Integralregeln:

 

 

3.  Das unbestimmte Integral wird durch eine Menge von Stammfunktionen, welche sich durch eine additive Konstante unterscheiden, wiedergegeben.

4.   Der Betrag des bestimmten Integrals kann als Flächenmaß interpretiert werden, falls die Integrandenfunktion f(x) zwischen den Grenzen a und b keine weitere Nullstelle besitzt.

5. Tabelle von Integralen:

Weitere Integralbeispiele:

Spezielles Problem ergibt folgendes Ergebnis:

Dies führt zu einer wichtigen Integralformel:

 

6. Substitution (Kettenregel):

z.B.:

 

 

7. Partielle Integration (Produktregel):

z.B.:

 

8. Partialbruchzerlegung:

 

9. Uneigentliche Integrale:

Folgendes Problem ist lösbar:

 

10. Fakultät:

Def.: n!=1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8· 9· ... · n

1!=1

0!=1

11. Binomischer Satz

12. Binominalkoeffizienten

13. Bernoullische Ungleichung

 

14. Taylorsche Reihe

Mittels Taylorsche-Reihen kann eine Ersatzfunktion bzw. ein Näherungspolynom bestimmt werden.

Beispiel:

f(x) = 3x5 - 2x4 + 3    xo = 2

 

3

-2

0

0

0

3

 
 

0

6

8

16

32

64

 
x = 2

3

4

8

16

32

67

a0 = f(2)

 

0

6

20

56

144

   
x = 2

3

10

28

72

176

 

a1 = f'(2)

 

0

6

32

120

     
x = 2

3

16

60

192

   

a2 = f''(2)/2

 

0

6

44

       
x = 2

3

22

104

     

a3 = f'''(2)/6

 

0

6

         
x = 2

3

28

       

a4 = fIV(2)/24

 

0

           
 

3

         

a5 = fV(2)/120

f(x)= 67+176(x-2)+192(x-2)2+104(x-2)3+28(x-2)4+3(x-2)5

Interessanter ist folgendes

f(x) = ex fn(x) = f(x) mit xo = 0 gilt f(0) = 1 also:

 

Zurück zur Übersicht