Teil III

Lineare Algebra

Geometrie


Inhaltsverzeichnis

  1. Geometrie
  2. Rechtwinkliges Dreieck
  3. Flächen
  4. Körper
  5. Trigonometrie
  6. Ebenes Dreieck
  7. Sinussatz
  8. Kosinussatz
  9. Tangentensatz
  10. Analytische Geometrie
  11. Linearkombination
  12. Erzeugendensystem
  13. Nullvektorzug
  1. Linear abhängig
  2. Linear unabhängig
  3. Basis
  4. Dimension
  5. Matrix
  6. Kern A
  7. Bild A
  8. Rang A
  9. inverse Matrix
  10. Lineare Gleichungen
  11. Skalarprodukt
  12. Lotvektoren
  13. Ebene
  1. Koordinatengleichung
  2. allgemeine Normalenform
  3. Kreuzprodukt
  4. Abstandsberechnung
  5. Lotfußpunkt und Spiegelpunkt bei einer Ebene
  6. Abstand eines Punktes von einer Geraden im
  7. Abstand zweier paralleler Geraden im Raum
  8. Abstand zweier windschiefer Geraden im Raum
  9. Kreis und Kugel
  10. Tangente und Tangentialebene
  11. Polare und Polarebene
  12. Schnitt zweier Kugeln

 

 

1. Geometrie:

 

 

Winkelsummen: Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 180°.

Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 360°.

Im n-Eck ist die Summe der Innenwinkel (n-2)180°.

Thales-Satz: Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter.

Umkreismittelpunkt: Im Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt.

Inkreismittelpunkt: Im Dreieck schneiden sich die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt.

Schwerpunkt: Im Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt, dem Schwerpunkt. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende vom Eckpunkt des Dreiecks aus im Verhältnis 2:1.

Gleichschenkliges Dreieck:

Gleichseitiges Dreieck:

 

 

2. Rechtwinkliges Dreieck:

Satz des Pythagoras:

Kathetensatz:

Höhensatz:

Beliebiges Dreieck:

 

 

"Diagonale d,e,f Umfang U Flächeninhalt A"

Quadrat:

Rechteck:

Raute:

Parallelogramm:

Drachen:

Trapez:

Kreis:

Bogenmaß:

Kreisbogen:

Kreisausschnitt: "Sektor"

Kreisabschnitt: "Segment"

"Räumliche Diagonale d, räumliche Höhe h, Radius r, Mantel-

linie s, Mantelfläche M, Grundfläche G, Oberfläche O, Volumen V"

Würfel:

Quader:

Prisma:

Pyramidenstumpf:

Tetraeder:

Zylinder:

Kegel:

Kegelstumpf:

Kugel:

Kugelabschnitt:

Kugelausschnitt:

Kugelschicht: "Zone"

 

 

5. Trigonometrie

Definition:

 

 

Beziehungen:    
   

 

Besondere Werte:

x:

0

a :

30° 45° 60° 90°
sin a 0 1
cos a 1 0
tan a 0 1 -
cot a - 1 0

 

Umwandlungen :

a

90°± a 180°± a 270°± a 360°-a

(-a)

sin a cos a *sin a - cos a - sin a
cos a * sin a - cos a )sin a cos a
tan a * cot a )tan a * cot a - tan a
cot a * tan a ) cot a * tan a - cot a

Umformungen:

 

 

6. Ebenes Dreieck

 

Sinussatz:

 

Kosinussatz:

 

Tangentensatz:

Flächeninhalt:

 

 

 

10. Analytische Geometrie

Vektorräume: 9 Gesetze

Untervektorräume: 3 Bedingungen

 

 

11. Linearkombination:

 

 

12. Erzeugendensystem:

 

 

13. Nullvektorzug:

 

 

14. Linear abhängig:

nichttrivial lösbar

 

 

15. Linear unabhängig:

 

 

16. Basis:

linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des entsprechenden Erzeugendensystems.

 

 

17. Dimension:

gleich Anzahl der (linear unabhängigen) Vektoren der Basis

Satz:

Sind U und W Teilräume des Vektorraums V, dann gilt:

dim(U+W) = dim U + dim W - dim(UÇ W).

 

 

18. Matrix:

Bei quadratischen Matrizen existiert die Determinante; Entwicklungssatz beachten!

Satz:

Bezeichnet man mit Gl(n,K) die Menge der umkehrbaren Matrizen aus K(z,s), so wird Gl(n,K) zusammen mit dem Produkt (A,B)® A · B eine Gruppe, deren Einselement E ist und bei der das Inverse von A durch A-1 gegeben ist.

Gl(n,K) heißt die allgemeine lineare Gruppe über K.

At heißt die gespiegelte oder transponierte Matrix zu A.

At : Zeilen werden zu Spalten und umgekehrt.

Spaltenrang A = Zeilenrang At

 

Def.:

Für eine m x n Matrix über K definieren wir:

Kern A =

Bild A =

 

Satz:

Rang A = dim (Bild A)

 

Satz:

Für eine m x n Matrix über K gilt:

dim (Kern A) = n - Rang A = n - dim (Bild A).

Satz:

Es sei A Î Gl(n,K). Wenn man die Zeilenumformungen, die A in E überführen, in derselben Reihenfolge an der Einheitsmatrix ausführt, so erhält man A-1, die inverse Matrix.

Für die inverse Matrix von A gilt:

Satz:

Ist f: V ® V' (Kn ® Km) ein Homomorphismus der Vektorräume, dann gilt:

dim V = dim Bild f + dim Kern f

f=A(m,n) : dim V = n = Rang A + dim Kern A.

 

Lineare Gleichungen

Satz:

Die Gleichung ist lösbar Û Rang A = Rang

Û Rang Matrix = Rang der erweiterten Matrix.

Def.: homogenes Gleichungssystem:

inhomogenes Gleichungssystem:

Falls das System lösbar ist, dann erhält man die allgemeine Lösung der Gleichung als , wobei eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist und alle Lösungen der homogenen Gleichung durchläuft.

 

Interpretations Bemerkung:

Die Determinante ist bis aufs Vorzeichen für  2 die Fläche des Parallelogramms, aufgespannt durch die zwei Spaltenvektoren.

Die Determinante ist bis aufs Vorzeichen für  3 das Volumen des Spats, aufgespannt durch die drei Spaltenvektoren.

Skalarprodukt

 

Lotvektoren

Zu einem Vektor erhält man den Lotvektor , in dem man eine Komponente gleich Null setzt, die beiden anderen vertauscht und ein Vorzeichen ändert.

Bei einem Vektor im _ 2 wird nur getauscht und ein Vorzeichen geändert.

 

Ebene: Koordinatengleichung Û allgemeine Normalenform

Es gibt nur einen Lotvektor zur Ebene:

Koordinatengleichung der Ebene: ax + by + cz + d = 0

Die Koordinaten von sind identisch mit den Unterdeterminanten! gebildet aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene ( Kreuzprodukt).

Vorzeichen entsprechend dem Entwicklungssatz bei y ändern!

Kreuzprodukt

 

 

30. Abstandsberechnung:

 

Für die Abstandsberechnung benötigt man das Lot, also einen senkrechten Vektor. Die Abstandsberechnung eines Punktes von einer Ebene ist mittels Hessescher Normalenform denkbar einfach. Zu beachten ist, daß das Vorzeichen als Lagebestimmung interpretiert werden kann.

e (P,E) > O, daß P und O in verschiedenen Halbräumen liegen,

e (P,E) = O, daß P in E liegt,

e (P,E) < O, daß P und O im gleichen Halbraum liegen.

 

31. Lotfußpunkt und Spiegelpunkt bei einer Ebene:

In der Grundformel wird e mit dem Vorzeichen im Betragstrich eingesetzt.

 

32.Abstand eines Punktes von einer Geraden im Å 3 :

 

33. Abstand zweier paralleler Geraden im Å 3 : wie oben, also

 

 

34. Abstand zweier windschiefer Geraden im Å 3 :

 

 

Kreis und Kugel:

Kreis-(Kugel-)gleichung:

Die Lage des Punktes A bzgl. des Kreises können wir mittels Bezug zwischen dem Radius und dem Abstand von A zu M ermitteln. Man bezeichnet folgenden Term auch als Potenz des Punktes A bzgl. des Kreises . Wir interpretieren dies wie folgt:

p (A,K) > O, daß A außerhalb des Kreises liegt,

p (A,K) = O, daß A auf dem Kreis liegt,

p (A,K) < O, daß A innerhalb des Kreises liegt.

 

 

36. Tangente und Tangentialebene:

Tangenten-(Tangentialebenen)-gleichung:

 

 

37. Polare und Polarebene:

Polaren-(Polarebenen)-gleichung:

Mit erhält man die Berührungssehne mit den Berührpunkten B1 und B2 der Tangenten von dem Pol P aus an den Kreis.

Mit wird die Berührungssehne zur Tangenten und der Pol P zum Berührpunkt.

 

 

38. Schnittmenge von zwei Kreisen und zwei Kugeln:

Bei Gleichheit ergibt sich nur ein Berührpunkt.

 

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